Urodził się 26 listopada 1926 roku w Kielcach. Po wojnie ukończył gimnazjum w Kielcach i w 1947 roku rozpoczął studia w Uniwersytecie Jagiellońskim, a następnie w 1951 roku przeniósł się do Warszawy, gdzie studiował dziennikarstwo w Sekcji Dziennikarskiej przy Uniwersytecie Warszawskim. Od 1951 roku współpracował z wychodzącym w Kielcach „Słowem Ludu”. Studia I stopnia ukończył w 1952 roku.
W tym samym roku, 3 grudnia rozpoczął pracę w Rozgłośni Polskiego Radia w Katowicach, jako redaktor interwencji w Samodzielnym Referacie Listów i Korespondentów. Potem pracował w redakcjach publicystyki, informacji, redakcji społeczno-ekonomicznej i redakcji „Śląskiej Fali”. Zwrócił na siebie uwagę przełożonych, którzy uznali, że ma wszelkie predyspozycje, by obsługiwać duże imprezy, uroczystości, ceremonie i oficjalne wizyty. Trasy wielu przebiegały bowiem przez województwo.
W tamtych latach Bronisław Stokowski obsługiwał m.in. wizyty Nikity Chruszczowa, Jawaharlala Nehru, Fidela Castro, Charlesa de Gaulle’a, kosmonautów: Jurija Gagarina, Walentyny Tiereszkowej i Walerego Bykowskiego. Jako jedyny zarejestrował wówczas pamiętne słowa francuskiego prezydenta Charlesa de Gaulle’a: „Niech żyje Zabrze najbardziej śląskie ze wszystkich śląskich miast, a więc najbardziej polskie z polskich miast”.
Przez wiele lat był czołowym reporterem, a także prezenterem najpopularniejszego programu Polskiego Radia w Katowicach – „Śląskiej Fali”. Był twórcą Magazyny Motoryzacyjnego „Za kierownicą”, który emitowano na katowickiej antenie od 1968 roku, a od 1971 roku na ogólnopolskiej antenie programu III Polskiego Radia.
Utworzona przez niego 1 października 1971 roku Redakcja Audycji „Za kierownicą” była najważniejszą w jego karierze. Od samego początku pełnił funkcję je kierownika. Po zlikwidowaniu redakcji styczniu 1980 roku przeniesiony został na stanowisko komentatora. Krótko w latach 80. kierował Redakcją Górniczą i Społeczno-Ekonomiczną. 30 września 1990 roku przeszedł na emeryturę.
Był wieloletnim członkiem Stowarzyszenia Dziennikarzy Polskich, a później Stowarzyszenia Dziennikarzy RP.
Za swoją wieloletnią pracę w 1976 roku odznaczony został m.in. Krzyżem Kawalerskim Orderu Odrodzenia Polski.
Zmarł w Katowicach 1 maja 2012 roku. Pochowany został na Cmentarzu Komunalnym przy ul. Murckowskiej w Katowicach.